这是一个众所周知的事实，没有已知的多项式时间解NP完整问题在现实世界中发生了很多问题（见这,这和这例如)。所以一定有办法解决它们。我们已经看到这些问题的算法是p近似(例如大致为旅行推销员）。我们可以做得更好吗？
PolynomialT我一个诗经年代Cheme（PTA）是一种近似算法，其提供用户来控制近似的精度，这是一个理想的特征。这些算法采用附加参数ε> 0，并提供最小化和（1 - ε）的（1 +ε）的解决方案，用于最大化。例如，考虑最小化问题，如果ε为0.5，则通过PTA算法提供的解决方案是1.5近似。PTA的运行时间必须是多项式，但是，它可以在ε方面是指数。
在PTAS算法中，多项式的指数随着ε的减小而急剧增加，例如当运行时间为O(n)时(1 /ε)!）这是一个问题。有一个更严格的方案，FulPolynomialT我一个诗经年代化学(FPTAS)。在FPTAS中，算法需要对问题大小n和1/ε进行多项式运算。
示例（0-1背包问题）：
我们知道0-1背包是NP完全的。有一个基于DP的伪多项式解决方案为了这。但是，如果输入值很高，则解决方案变得不可行，需要近似解。一个近似解决方案是使用贪婪的方法（对于所有项目计算每千克计算值，如果它小于w，则首先将最高值放置，但贪婪的方法不是PTA，因此我们没有控制精度。
以下是0-1背包问题的FPTAS解决方案:
输入:
W(背包的容量)
瓦尔(0 . . n - 1)(价值的物品)
wt [0..n-1]（物品的重量）
- 查找最大值项，即在val[]中查找最大值。设这个最大值为maxVal。
- 计算所有值的调整因子k
k = (maxVal * ε) / n
- 调整所有值，即，创建一个新的阵列Val'[]该值除以k。为每个值val [i]做窗户。
val'[i] = floor(val[i] / k)
- 运行基于DP的解决方案对于减少的值，i,e, val'[0..]n-1]和所有其他参数相同。
以上解决方案在N和ε之间的多项式时间工作。该FPTA提供的解决方案是（1 - ε）近似。该想法是从一些值的一些最低有效数字舍入，然后它们将由多项式和1 /ε界定。
例子：
val[] = {12, 16, 4, 8} wt[] = {3, 4, 5, 2} W = 10 ε = 0.5 maxVal = 16 [val[]]调整因子的最大值，k =(16 * 0.5)/4 = 2.0现在我们对下面修改的问题实例应用DP解。val '[] ={6 8、2、4}(val[我]=地板(val[我]/ k)] wt[] ={3、4、5,2}W = 10
解(1 - ε) * OPT是怎样的?
在这里选择为最优值。让年代是由上述FPTAS算法产生的集合和S为VAL的总值。我们需要表明这一点
val（s）> =（1 - ε）*选择
让O是通过最佳解决方案产生的集合（具有总值OPT的溶液），即VAL（O）= OPT。
瓦尔(O) - k * val”(O) < = n * k(因为val”[我]=地板(val[我]/ k)]
在动态编程步骤之后，我们获得了一个最佳缩放实例的集合
因此它至少和选择利润较小的集合O一样好。由此，我们可以得出结论，
val'(S) >= k。val”(O) > =瓦尔(O) - nk > =选择-ε* maxVal > =选择-ε*选择(选择> = maxVal] > =(1 -ε)*选择
来源:
http://math.mit.edu/~goemans/18434S06/knapsack-katherine.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial-time_approximation_scheme
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